正交矩阵的定义性质和判别方法

正交矩阵是指转置等于逆矩阵的矩阵，其性质是逆矩阵也是正交矩阵，乘积也是正交矩阵。正交矩阵是由实数特化的酉矩阵，所以它总是属于正规矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵，也就是说正交矩阵中的所有元素都是实数，可以看作特殊的酉矩阵，但也有复正交矩阵，它不是酉矩阵。

正交矩阵的定义

如果:AAT=E(E是单位矩阵，AT代表“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E，则称n阶实矩阵A为正交矩阵，若A为正交矩阵，则满足以下条件:

1)AT是正交矩阵。

2)(E是单位矩阵)

3)3)AT的每一行是一个单位向量，并且彼此正交。

4)4)AT的列是单位向量，并且彼此正交。

5)(Ax，Ay)=(x，y)x，y∈R

6)|A|=1或-1

7)

8)正交矩阵通常用字母q表示。

(9)例如:

如果A =[r11r 12 r 13；r 21 r 22 r 23；R31r32r33]，有:

正交矩阵的性质矩阵的性质实数方阵是正交的当且仅当其列形成R的欧氏空与普通欧氏点积之间的正交标准基，当且仅当其行形成R的正交基..可能很容易假设具有正交(非正交)列的矩阵称为正交矩阵，但这个矩阵没有特殊的值，也没有特殊的名称；它们只是MM=D，D是对角矩阵。

1.逆矩阵也是正交矩阵；

2.乘积也是正交矩阵；

3.行列式的值为正1或负1。

任何正交矩阵的行列式都是+1或1。这可以从以下关于行列式的基本事实得出:(注:反过来不成立；+1行列式的存在并不能保证正交性，即使是正交列也是如此，下面的反例可以证实这一点。)

对于置换矩阵，行列式是+1还是1匹配置换是偶数还是奇数的符号，行列式是行的交替函数。

比行列式更具限制性的是，正交矩阵总是可以在复数上对角化以表示特征值的完备集，并且都必须有(复数)绝对值为1。